第一百一十九章 均值不等式

到了七中。

上午第一节课和第二节课是数学课，数学老师还是那个病恹恹的老教师，说话声音跟个女人似的。坐在后排的同学基本听不见。不过王天现在个人等级达到了15级，jin骨属xing的增加使得他本shen的各项能力都提高了不少，坐在最后排的他也是勉qiang能够听见。

旁边的冷心心则是一上课就拿chu了自己的手机玩酷跑，数学老师gen本不guan她。在他心中想的是，反正自己要退休了，学生听不听无所谓，自己只要在上面讲课，就算完成任务了。

不过冷心心听不听课也无所谓，反正她老爸是集团公司的老总，她到了一定的年纪，直接公司去上班就行了，而且还不是zuo普通员工。就是她现在说要去，恐怕冷谦都会给她安排个不错的职位。

王天则是认真的听讲，以前为了金钱而放弃学习，现在他不需要了。现在他包裹里的钱是无限，an理说他不学习也没关系。但他还是要认真学习，一来是他认为这个机会难得。二来他认为学习知识是自己的事情，学习不是为了升学，而是为了提高个人素质。知识丰富的人，不guan从哪个方面都比别人qiang一些。

这两节课讲的是均值不等式：hn≤gn≤an≤qn。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数。

1，调和平均数：hn=n/(1/a1 1/a2 。。。 1/an)2，几何平均数：gn=(a1a2。。。an)^(1/n)3，算术平均数：an=(a1 a2 。。。 an)/n4，平方平均数：qn=√[(a1^2 a2^2 。。。 an^2)/n]这四zhong平均数满足hn≤gn≤an≤qn其中a1、a2、…、an∈r ，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号。

然后数学老师讲了均值不等式的各zhong变形，而高二数学基本都是下面三个变形：（1)对实数a,b，有a^2 b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)。

(2)对非负实数a,b，有a b≥2√(a*b)≥0，即(a b)/2≥√(a*b)≥0。

(3)对负实数a,b，有a b<0<2√(a*b）。

第二节课，老师讲了均值不等式的证明方式。方法很多：数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等。

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设a≥0，b≥0，则(a＋b)^n≥a^n＋na^(n－1)b。注：引理的正确xing较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a＋b≥0。

原题等价于：((a1＋a2＋…＋an)／n)^n≥a1a2…an。当n＝2时易证。设当n＝k时命题成立，即((a1＋a2＋…＋ak)／k)