思考。

在培养女的时候在思考。在天选者队伍里算计的时候思考，在布置网的时候思考，在战斗的时候仍然在思考。

对球来说，五块就足够到这了，但少于五块却不行。这个悖论甚至有个更的版本：

这个悖论表明如果等度分解的集被认为有相同积的话，就无法对欧几里德空间的有界集定义什么叫“积”

司回顾着自的存在，以及自存在的某意义…她忽然地…像是明白了什么…

对于三维以上的情形这个悖论依然成立。但对于欧几里德平面它不成立。（以上叙述不适用于三维空间的二维集，因为这个集可能有空的内。）同时，也有一些悖论的分解组合在平面上成立：一个圆盘可以分割成有限块并重新拼成一个面积相同的实心正方形。参见塔斯基分割圆问题。

而她所明白，所理解的事情…似乎也真的要改变这个世界，改变她自己…

换句话说，一块大理石可以分成有限块然后重新组合成一个行星，或者一电话机可以变形之后藏一朵百合里面。在现实生活中这变形之所以不可行是因为原的积不是无限小，数量不是无限大，但其几何形状确实可以这样变形的。如果知总是可以存在从一个几何的内一一映到另一个的方法，也许这个悖论看上去就不那么怪异了。例如两个球可以双到其自同样级别的无限集（例如一个球）。同样我们还可以使一个球映到一个大或者小的球，只要据半径放大系数即可将一个映到另一个。然而，这些变换一般来说不能保积，或者需要将几何分割成不可数无限块。拿赫-塔斯基悖论人意料的地方是仅用有限块行旋转和平移就能完成变换。

设a和b是欧几里得空间的两个集。如果它们可以分为有限个不相集的并集，形如（此无法显示）和（此无法显示），且对任意i，集ai全等于bi（全等即可经刚运动变换成另一个），那么这两个集称为等度分解的。于是，这个悖论可以如下叙述：

使这个悖论成为可能的是无限的卷绕。技术上，这是不可测的，因此它们不有“合理的”范围或者平常说的“积”用小刀等理方法是无法完成这分割的，因为它们只能分割可测集合。这个纯粹存在的数学定理指在多数人熟悉的可测集合之外，还有更多更多的不可测集合。

某一世作为人的记忆里，在司所接受过的知识里，曾经有过这样一段记录：

…

…

直到她在天选者和学者派的面前。俨然变成的样的时候，这个思考突然像是得到了什么灵光，突然了一条崭新的路…

一个球和它自的两个拷贝是等度分解的。

任意两个三维欧几里德空间有非空内的集是等度分解的。

以她一直在思考。